J.2 計量テンソルと置換テンソル

同じ基底同士の内積を計量テンソル と呼び

$$g_{ij}\equiv \fat{g}_i\cdot\fat{g}_j, \quad g^{ij}\equiv \fa... ...{g}^i\cdot\fat{g}_j, \quad g_i^j\equiv \fat{g}_i\cdot\fat{g}^j$$ (J.13)

等と定義される。これを用いれば，共変成分と反変成分を

$$u_i \fat{g}^i = u^j \fat{g}_j \quad\to\quad u_i \fat{g}^i... ...d u_i \delta^i_k = u^j g_{jk} \quad\to\quad u_k=u^j g_{jk}$$ (J.14)

等のように関係付けること（添え字の入れ替え）ができる。

また， 交代記号$e_{ijk}$（テンソルではない）を

$$e_{ijk}=e^{ijk}=\left\{ \begin{array}{ll} +1 & \mbox{ もし... ...置換である場合} \\ 0 & \mbox{ それ以外} \end{array} \right.$$ (J.15)

と定義すると，例えば$3\times 3$の行列$\mat{C}$

$$\Mat{C} \equiv \left(\begin{array}{ccc} C^1_1 & C^1_2 & C^1... ...^2_2 & C^2_3 \\ C^3_1 & C^3_2 & C^3_3 \\ \end{array}\right)$$

の行列式$c$は

$$c\equiv \det\left\vert C \right\vert=C_1^i C_2^j C_3^k ... ...jk}, \quad c=\dfrac16 C_l^i C_m^j C_n^k e_{ijk} e^{lmn}$$ (J.16)

と書くことができる。 また二つのベクトル$\fat{u}$, $\fat{v}$の外積 $\fat{w}=\fat{u}\times\fat{v}$は

$$w^k=u_i v_j e^{ijk}, \quad w^i=e^{ijk} u_j v_k$$ (J.17)

と成分表示できる。

一方，計量テンソルの行列式を

$$g\equiv\det\left\vert g_{ij}\right\vert, \quad \dfrac1g\equiv\det\left\vert g^{ij}\right\vert$$ (J.18)

と定義しておくと， 置換テンソル $\epsilon_{ijk}$は

$$\epsilon_{ijk}=\sqrt{g} e_{ijk}, \quad \epsilon^{ijk}=\dfrac{1}{\sqrt{g}} e^{ijk}$$ (J.19)

と定義される。 これとKroneckerのデルタの間には

$$\epsilon^{ijk} \epsilon_{imn}= \delta^j_m \delta_n^k-\del... ...ilon_{ijn}=2\delta^k_n, \quad \epsilon^{ijk} \epsilon_{ijk}=6$$ (J.20)

の関係が成り立つ。